Glosario

FÓRMULA DE HERÓN.

La fórmula de Herón halla el área de untriángulo del cual se conocen todos sus lados. El área se calcula a partir del semiperímetrodel triángulo s y de la longitud de los lados (a, by c).

La llamada fórmula de Herón permite calcular el área de un triángulo a partir de las medidas de sus lados. Coxeter indica que la fórmula ya era conocida por Arquímedes.

Usando el conocido teorema del coseno: a2=b2+c2−2bccos(A)a2=b2+c2−2bccos(A), podemos calcular cos(A)=b2+c2−a22bccos(A)=b2+c2−a22bc.
A partir del valor del coseno se puede calcular el valor del seno usando la relación fundamental de trigonometría (sen2(A)+cos2(A)=1sen2(A)+cos2(A)=1): sen2(A)=−a4−b4−c4+2a2b2+2b2c2+2c2a24b2c2sen2(A)=−a4−b4−c4+2a2b2+2b2c2+2c2a24b2c2
También es conocido que el área de un triángulo se puede obtener a partir de las longitudes de dos de sus lados y del valor del ángulo que determinan esos dos lados.
En la imagen siguiente: Área=12c×hÁrea=12c×h. En el triángulo rectángulo AHC tenemos: h=bsen(A)h=bsen(A) y de aquí y de la igualdad anterior se deduce la célebre fórmula:

Área=12b×c×sen(A)

Utilizando los resultados anteriores podemos escribir: Área=12b×c−a4−b4−c4+2a2b2+2b2c2+2c2a24b2c2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√$\text{Área}=\frac{1}{2}b\times c\sqrt{\frac{-a^4-b^4-c^4+2a^2{b}^2+2b^2{c}^2+2c^2{a}^2}{4b^2{c}^2}}$
Área=14−a4−b4−c4+2a2b2+2b2c2+2c2a2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√$\text{Área}=\frac{1}{4}\sqrt{-a^4-b^4-c^4+2a^2{b}^2+2b^2{c}^2+2c^2{a}^2}$
Área=14(a+b+c)(−a+b+c)(a−b+c)(a+b−c)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√$\text{Área}=\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}$
Llamando s$s$ al semiperímetro:
Área=142s(2s−2a)(2s−2b)(2s−2c)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√$\text{Área}=\frac{1}{4}\sqrt{2s(2s-2a)(2s-2b)(2s-2c)}$, y, por último obtenemos la célebre fórmula de Herón:
Área=s(s−a)(s−b)(s−c)−−−−−−−−−−−−−−−−−√

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