POSTULADOS DE LAS RECTAS PARALELAS Y SU INVERSO.

POSTULADOS DE LAS RECTAS PARALELAS Y SU INVERSO. 

El postulado paralelo es el quinto postulado de la geometría euclidiana. Indica.

Eso, si una recta que cae en dos rectas hace los ángulos interiores en el mismo lado menos de dos ángulos rectos, las dos rectas, si está producido indefinidamente, la reunión en ese lado en las cuales es los ángulos menos que los dos ángulos rectos.Euclid. Elementos, libro I.

Indicado en una lengua más simple, si la suma de los ángulos interiores en el mismo lado de un transversal de dos rectas es menos que 180°, las dos rectas se encuentran en ese lado. Si la suma de los ángulos es igual a180°, las dos rectas no se encuentran, y así que son paralelas. Si la suma de los ángulos es mayor que 180°, las dos rectas se encuentran en el lado opuesto.

Equivalencias del postulado paralelo

Hay un número de propiedads geométricas que son equivalencias del postulado paralelo. Dos propiedads son equivalentes si una implica la otra. Algunas de las equivalencias del postulado paralelo son:

●La suma de los ángulos en cada triángulo es 180°.

●Existe un par de similar, pero de no congruente, triángulos.

●Cada triángulo puede ser circunscrito.

●Si tres ángulos de un cuadrilátero son ángulos rectos, después el cuarto ángulo es también un de ángulo llano.

●Existe por lo menos dos rectas que sean paralelas.

●Dos rectas que son paralelas a la misma recta son también paralelas.

●Dado dos rectas paralelas, cualquier recta que interseque una de ellas también interseca la otra.

●Teorema de Pythagoras (A2 + B2 = C2).

Importancia del postulado paralelo.

El postulado paralelo se ha demostrado para ser muy importante en las definiciones de geometrías. Porque no es intuitivo obvio como los primeros cuatro postulados, muchos matemáticos creyeron que el postulado paralelo se podría probar usando los primeros cuatro postulados. Había muchas tentativas en esta prueba que eran fracasadas.

Comenzando en 1829, los matemáticos cambiaron de intentar probar el quinto postulado a las geometrías de exploración que no contienen el postulado paralelo. Consecuentemente, dos geometrías válidas fueron descubiertas: geometría hiperbólica y geometría elíptica.

Via...allmathwords....

...http://www.allmathwords.org/es/p/parallelpostulate.html.....

Construcciones Unidad lll

CONSTRUCCIONES UNIDAD III
ELEMENTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA PLANA.

CONRRUCCION 6)TRAZA UNA RECTA QUE DIVIDÍA A UN SEGMENTO EN TRES PARTES IGUALES.

A)Primero para hacer esta construcción vamos a trazar una línea recta con la ayuda de la regla a la que le vamos a poner de nombre A y B en cada extremo.

B)Con la regla vamos a partir del punto A y vamos a trazar otra línea que de tal forma que parezca que hicimos un ángulo, está línea puede ser de la aventura que sea.

C)Una vez ya obtenida estas dos líneas vamos hacer con la ayuda de nuestro compás, vamos a marcar una distancia cual sea sobre la línea AB (O sea la línea original) y vamos a transportar esa medida tres veces en nuestra recta AE (O sea la segunda) seguidas.

D)Al último punto sobre la primera recta le vamos a llamar punto É. Al punto después del punto A lo llamaremos C y al que le sigue D.

E)Con la ayuda de nuestras escuadras vamos a trazar una línea que una al punto E Con la primera recta recargando una escuadra en la segunda recta y parando la otra por encima de esta hasta tocar el punto B de la primera recta, una vez hecho esto vamos a desplazar nuestra escuadra que paramos sin mover la segunda al punto D y vamos a trazar otra línea para unir estas dos partes y así igual con la última hasta tener los tres puntos unidos entre sí.

F)Los tres puntos que se hicieron en la recta 1 son las 3 partes en las que hay que dividir y así lograr la primera construcción.




CONCLUSIÓN.
Que los segmentos EB prima || DF prima ||y CG prima son paralelos entre sí.

CONSTRUCCIÓN 7:
Si L es una recta y P un punto fuera de ella, construir una recta que represente la distancia que existe entre dicho punto y la recta.


A)Para hacer esta construcción lo primero es medir la distancia del punto P a cualquier punto en la línea L con el compás.

B)Mantener esa distancia y mover el compás, centrarlo en el punto P y pasar la misma distancia al otro extremo de la recta,mover la misma distancia que marcamos hacía el otro lado de la línea L ( donde no esté el punto P).

C)Marcar 2 veces esa distancia desde cada extremo de la recta L.

D)Marca el punto que se forma de estas dos curvas y unir ese punto con el punto P del otro extremo con la regla.

E)Esa recta que se formó perpendicularmente a la recta L es el punto que representa la distancia entre el punto P hacía la recta.


CONCLUSIÓN:
La perpendicular pasa por el segmento más corto entre el punto y la recta.

CONSTRUCCIÓN 8)Si L es una recta y P un punto sobre esta, entonces construir una recta perpendicular a L que pase por P.

A)Para hacer esta construcción lo primero que hay que hacer es con el compás abrirlo y centrarlo en el punto P a una distancia en la recta L.

B)Después marcar donde corta 2 veces a la recta L ( de un lado al otro).

C)Mover el compás a un punto ya marcado de la recta, centrarlo y manteniendo la misma distancia que teníamos marcarlo hacía donde está el punto P y de igual manera pero del otro lado( partiendo del punto hecho).

D)En el punto donde se unen estas dos curvas escuadrarlo y marcar esa línea completa.

E) Esa línea es la que pasa por enmedio de la recta y es la distancia más corta y también por que forma un ángulo recto.

CONSTRUCCIÓN 8.1)Traza la línea paralela que pasa por el punto P a la recta L.

A) Marcar una recta con ayuda de la regla a la que llamaremos L.

B) Maca un punto P fuera de la recta L.

C)Hacer centro en P, habrir el compas hacia una distancia de la recta y marcarlo de los dos lados que corta la recta L, a esos puntos los vamos a llamar A y B.

D)Hacer centro en A y trazar la circunferencia con el compás teniendo la misma medida de la distancia de el punto P a la recta L.

E)Hacer lo mismo pero desde el punto B.

F) a los puntos donde las circunferencias cortan a la recta ponerles nombre C,D,E,F y G.

G)Hacer centro en C y marcar cuando el trazo corte a la circunferencia B.
Hacer centro en G y también marcar cuando corte a la circunferencia A.

H)Con ayuda de la regla trazar una recta que atraviese el punto P y los dos pequeños trazos anteriores.

Y así quedaría una línea recta paralela que atraviese a punto P.

Construcciones Unidad III

"CONSTRUCCIONES, REGLA, COMPÁS Y MÁS ".

Circunferencias.
CONSTRUCCIÓN 1:

Para marcar una circunferencia se siguen los siguientes pasos:

A)Se marca una línea con ayuda de la regla  de la medida  que deseemos,eso será el radio de la circunferencia.

B)se marca un punto en donde queramos en nuestra hoja.

C)tomaremos las medidas de un segmento abriendo el compás del tamaño de la línea dada

D)haremos centro en el punto que habíamos marcado en la hoja,y con la medida que tenemos en el compás ,haremos un circulo,este primero lo llamaremos segmento AB (SE TIENE QUE REPRESENTAR CON UNA LINEA ARRIBA DE LAS LETRAS)partiendo del radio a cualquier punto de la circunferencia.
Y así consecutivamente hasta tener 3 círculos de los segmentos obtenidos.

E)A las otras 2 circunferencias les pondremos de nombre DE o FG por ejemplo en el segmento marcado. (Línea marcada).

CONCLUSIÓN:
Una circunferencia requiere de un punto y un radio.

CONSTRUCCIÓN 2:

CONGRUENCIA.
Para construir 3 segmentos congruentes con el original se hace lo siguiente:

A)Marcar 3 líneas en donde queramos de la hoja, no importa la longitud del segmento.

B)Tomar la medida del segmento AB con la ayuda del compás.

C)En cada segmento poner la punta del compás en donde quieras de la misma y marcar  la distancia ya medida en el segmento anterior para después ponerle A'B'a la segunda, a la segunda ponerle CD y a la última EF.

CONCLUSIONES:
Los segmentos congruentes tienen misma forma y medida aunque no pueden tener la misma orientación.


CONSTRUCCIÓN 3:
Dado el ángulo ABC construir un ángulo A'B'C' que resulte congruente con aquel.

A )Primero hay que tratar un segmento de cualquier medida y en cualquier orientación.

B)hacemos centro en B ,e iniciamos a trazar una circunferencia que pase por el segmento BA Y BC.

C)En el segmento BA ,donde paso la circunferencia le llamaremos D,y donde pase la circunferencia en el segmento BC ,le llamAremos E.

D) En el segmento original pasar la medida del compás que habíamos marcado en el ángulo anterior haciendo centro en un punto cualquiera del segmento.

E)nos daremos cuenta que el segmento que hemos trazado, ha sido cortado por la circunferencia,en la esquina de ese segmento lo llamaremos A´.

F)entonces ya tenemos B´,D´y A´, ahora ,para seguir construyendo el angulo ,tendremos que centrar en D y Abrir hasta E el compás.
Ya teniendo esa abertura del compás,centramos en D´y empezamos a hacer la circunferencia de modo que cruze con la mitad de circunferencia anterior,lo llamaremos E´

G)Ahora teniendo en cuenta la dirección de las manecillas del reloj ,el segmento que marcamos tomamos dirección contraria de las manecilla y trazamos un segmento que empieza en B´Y cruce por la marca de E´

H)Ahora ya tenemos nuestro ángulo congruente al cual llamaremos A'B'C'.

CONSTRUCCION 4:

Dado el ángulo ABC traza una recta o semirecta que dividía al ángulo en dos ángulos congruentes.

A)Tener nuestro ángulo que vamos a dividir a la mitad , El ángulo se llamará ABC, marcar el ángulo en B y abrirlo a la distancia de preferencia con ayuda del compás.

B)Marcar ese ángulo al que nombraremis É y D cuando tocan el lado del ángulo.

C) Mantenerlo a la misma distancia que utilizamos anteriormente  y centrarlo en É y marcar el ángulo que forma, también en el punto D hacer lo mismo.

D) En el punto en el que ambas líneas cruzan le vamos a llamar mediatriz.

E)Vamos a marcarlo o hacer una línea recta con ayuda de la regla desde el punto B hasta la mediatriz. Esa línea es la que dividirá a nuestro ángulo en 2 partes iguales.

Para comprobarlo se puede utilizar la ayuda de un transportador para medirlos.

CONCLUSION:

Los triángulos BDF Y BEF son congruente entre sí.

CONSTRUCCIÓN 5:

Traza una recta que dividía in segmento en dos partes iguales.

A) Marcar el segmento y en cada esquina ponerle A y en la otra B para delimitarlo, 

B)Con la ayuda del compás lo abrimos a la medida de AN, lo centramos en A primero y marcamos el ángulo que se forma , recuerda que tienes que matarlo en un tramo muy grande.

C) Hacer lo mismo ahora desde el punto B, lo tenemos que marcar hasta que está línea toque la otra línea ya marcada.

D)A este punto que se hizo de la Unión de las 2 parábolas las nombraremis C y D.

E)Con la ayuda de la regla marcar una línea que parta desde el punto C al punto D, A esta línea la llamaremos Madiatriz .

F) Esta línea es la que dividirá el segmento en dos partes iguales.

CONCLUSION:

Una mediatriz es una línea que corta el segmento en 2 partes iguales y que aparte no importa desde donde la tomes siempre será equilequilistante o sea siempre será la mitad de la recta.

Perímetro de polígonos.

Primeros y Áreas de polígonos.

El perímetro de un polígono es igual a la suma de las longitudes de sus lados y su área es la medida de la región o superficie encerrada por un polígono.

Área y perímetro del triángulo

- Cálculo del perímetro

Es la longitud de su contorno ó la suma de sus lados.

P = a + b + c

  - El perímetro de un triángulo escaleno (todos los lados distinta medida) de lados a, b y c se puede calcular utilizando la siguiente fórmula:

P = a + b + c

- El perímetro de un triángulo isósceles (dos lados igual medida) de lados a y base b se puede calcular utilizando la siguiente fórmula:

P = a + a + b, es decir,

P = 2 • a + b

- El perímetro de un triángulo equilátero (todos los lados igual medida)  de lado a se puede calcular utilizando la siguiente fórmula:

P = a + a + a, es decir,

P = 3 • a

- Cálculo del área

Es el producto de uno de sus lados por la altura correspondiente a él, dividido por dos.

- Área y perímetro del cuadrado

- Cálculo del perímetro

Es la longitud de su contorno ó la suma de sus lados



P = a + a + a + a, es decir,


P = 4 • a



- Cálculo del área



Para calcular el área de un cuadrado multiplicaremos su base por su altura, es decir, su largo por su ancho.

A = lado x lado = lado²

A = a • a

A = a²

Área y perímetro del rectángulo

- Cálculo del perímetro

Es la longitud de su contorno ó la suma de sus lados


P = a + a + b + b, es decir,
P = 2 • a + 2 • b

P = 2 • (a + b)



- Cálculo del área

Para calcular el área de un rectángulo multiplicaremos su base por su altura, es decir, su largo por su ancho.

A = base x altura.

A = a • b

Área y perímetro del romboide

El perímetro del romboide es igual a la suma de las longitudes de sus cuatro lados.

P = 2 • a + 2 • b

P = 2 • (a + b)

- Cálculo del área

Se obtiene a partir del área del rectángulo, multiplicando la base por la altura del romboide (no por el otro lado).

A = base x altura

Área y perímetro del rombo

- Cálculo del área

Para calcular el área del rombo, recuerda que éste es un cuadrilátero con cuatro lados iguales, paralelos dos a dos.



Si unimos los vértices opuestos, obtenemos su diagonal mayor (la que mide más) y su diagonal menor (la que mide menos).


El área del rombo resultará de multiplicar su diagonal mayor por su diagonal menor y dividirlo por dos.

 Cálculo del perímetro

Sumando las longitudes de los lados de un polígono hallaremos su perímetro.



¿Cómo calculo  el perímetro si sólo tengo el valor de las diagonales del rombo?

 

Entonces, recordemos, para aplicarlo, el Teorema de Pitágoras:



a2 = b2 + c2


Áreas y perímetros  de polígonos regulares



- Cálculo del perímetro

Sumando las longitudes de los lados de un polígono hallaremos su perímetro.



- Cálculo del área

Para calcular el área de un polígono regular cualquiera se divide en triángulos uniendo el centro con cada uno de los vértices. La altura de cada uno de los triángulos coincide con la apotema del polígono. Se calcula el área de uno de estos triángulos y se multiplica por el número de triángulos que se han formado.

n= número de lados

Perímetro = número de lados multiplicado por longitud del lado.



El área de un polígono regular es igual al producto de su perímetro por su apotema dividido entre dos.



Apotema: segmento que une el centro del polígono con el punto medio de cada lado.



...via portal educativo.

https://www.portaleducativo.net/movil/octavo-basico/154/Perimetro-y-area-de-poligonos

Glosario

Propiedades de los polígonos regulares e irregulares. 

Glosario

Fórmula de Heron.
La fórmula de Herón halla el área de untriángulo del cual se conocen todos sus lados. El área se calcula a partir del semiperímetrodel triángulo s y de la longitud de los lados (a, by c).

...via Google.
https://www.google.com.mx/amp/www.universoformulas.com/matematicas/geometria/formula-heron/amp/

Glosario

Poligonos regulares e irregulares.

LÍNEAS POLIGONALES 

Una linea poligonal es un conjunto de segmentos concatenados, (cada uno empieza donde acaba el anterior), y pueden ser: abiertas o cerradas. 

La superficie contenida por una línea poligonal cerrada se llama polígono.

Polígono

Figura geométrica plana, limitada por una poligonal cerrada que no se cortan a si mismas. 

Clasificación de los Polígonos

Los polígonos se clasifican básicamente en: polígonos regulares y polígonos irregulares.

Polígono Regular 

Polígono en el cual todos sus lados son de igual longitud, y todos sus vértices están circunscritos en una circunferencia. Se clasifican en:

• Triángulo equilátero: polígono regular de 3 lados,
• Cuadrado: polígono regular de 4 lados,
• Pentágono regular: polígono regular de 5,
• Hexágono regular: polígono regular de 6 lados,
• Heptágono regular: polígono regular de 7 lados,
• Octágono regular: polígono regular de 8 lados,... y así sucesivamente.

Polígono Irregular 

Polígono en el cual sus lados no son de igual longitud y/o sus vértices no están contenidos  en una circunferencia. De acuerdo al número de sus lados, se denominan:

-                   - Triángulo: polígono de 3 lados,

-                    - Cuadrilátero: polígono de 4 lados,

-                    - Pentágono: polígono de 5 lados,

-                    - Hexágono: polígono de 6 lados,

-                    - Heptágono: polígono de 7 lados,

-                    - Octágono: polígono de 8 lados,... y así sucesivamente.

Un polígono con n lados, tienen como suma de sus ángulos interiores 180° (n – 2)

Se toma como referencia un vértice cualquiera y se trazan (n – 2) triángulos en el polígono.

la suma de los ángulos de un triángulos es 180°.

Es fácil ver que la suma de los ángulos interiores del polígono, es la suma de los ángulos de los triángulos.

A + B + C + D + E = 190° (n – 2)

Un polígono con n lados, tienen como suma de sus ángulos interiores 180° (n – 2)

Se toma como referencia un vértice cualquiera y se trazan (n – 2) triángulos en el polígono.

la suma de los ángulos de un triángulos es 180°.

Es fácil ver que la suma de los ángulos interiores del polígono, es la suma de los ángulos de los triángulos.

A + B + C + D + E = 190° (n – 2)•180

Si el polígono es regular, y se desea calcular el valor del angulo interior basta con dividir 180° (n – 2) entre el numero de lados del polígono.

Angulo interior=(n-2)÷n

La suma de los ángulos exteriores de un polígono es igual a 360°

La suma de los ángulos interiores y exterior de un vértice del polígono es de 180°.

La suma de los ángulos interiores y exteriores del polígonos es 180° n.

Por lo tanto, a 180° n restamos la suma de los ángulos interiores 180° (n – 2).

180° n – 180° (n – n + 2) = 360°

Suma de ángulos exteriores = 360°

http://mateceblag2013.blogspot.mx/2012/11/poligonos-regulares-e-irregulares.htmil?m=1