Como los griegos Calculaban el perímetro del círculo.

Como los griegos Carculaban el perímetro del círculo.

http://fundacionorotava.org/bachillerato/matematicas/sobre-circulos-y-esferas/arquimedes-y-la-medida-del-circulo/

Construcciones de la unidad lll.

RECTAS Y PUNTOS NOTABLES EN UN TRIÁNGULO.

CONSTRUCCIÓN 19)Construye en el triángulo ABC, las tres mediatrices de sus lados y marca el punto de intersección entre las mismas.

Tipo de triangulo: Equilatero.

● Primero vamos a agarrar nuestro compás y lo vamos abrir a una medida cual sea pero que sea más de la mitad del lado del triangulo.

●Vamos hacer centro en A y vamos a marcar esa parábola que cruze los 2 lados del triángulo, luego manteniendo la misma medida en el compás vamos a marcar centro ahora en B y de igual manera trazamos la parábola hasta que cruz 2 veces al triangulo, se repite también en C y la marcamos.

●Se tiene que lograr hacer 3 intersecciones de las 3 parábolas marcadas , tienen que hacer como una "flor" de 3 pétalos.

●En los puntos en el cual las 2 parábolas se cruzan,o sea un "petalo" se van a unir de punta a punta con una línea recta marcada con la regla, repetir esto para los 2 " pétalos" restantes.

●La distancia de cada perpendicular trazada debe de ser la mitad del lado y estas líneas van hacer nuestras Mediatrices de este triangulo.

●En el punto donde estas 3 rectas se cruzan es el punto al que vamos a llamar Circuncentro.

●Para comprobar que lo hemos hecho bien vamos con el compás hacer centro en ese punto (Circuncentro) y lo vamos a alargar hacía un vértice, trazamos la circunferencia y si esta toca los 3 vértices del triangulo es que lo hemos hecho bien y estaría listo esa construcción.

●La otra construcción que se forma es una circunferencia circunscrita.




CONSTRUCCIÓN 20)Construye en el triángulo ABC, las 3 bisectrices de sus ángulos.

Tipo de triangulo: acutangulo.

●Abrir el compás a la medida que sea pero que está sea menor a la mitad de lado.

●Marcar las parabolas de los 3 vértices del triangulo.

●En la parábola marcada del punto A vamos a abrir el compás y vamos a marcar de punta a punta de la parábola en la cual corta a los lados del triangulo. Una vez obtenida esa medida vamos a marcar centro en el punto de la parábola donde corta al triangulo y la marcamos, hacer eso del otro lado donde la corta de igual manera y cuando termines se debió de hacer una x.
Con la regla hacer un segmento que pase por el vértice A y el centro de x.

●Hacer lo mismo de cada vértice, pero cada parábola marcada debe de ser de la misma medida excepto cuando se mide de punta a punta de c/parábola ahí si deberá de ser otra medida.

●Se supone que debe de tener marcadas 3 parábolas de c/vértice y 3 "x " marcadas enfrente de estas, y también 3 líneas rectas que pasen por el vértice y el centro de "x".

●Las 3 rectas marcadas tendrán el nombre de bisecttices y al punto en el cual estas 3 rectas se cruzaron de va a llamar Incentro.

●Para poder comprobar que esta bien ,haremos centro en el incentro y lo abriremos el compás un poco mas que a una de sus caras,y marcaremos esas 2 intersecciones que hace la circunferencia con el segmento de una de las caras,luego de esa nueva distancia ,calcularemos su punto medio ,marcando 2 circunferencias ,primero haremos centro en una de las marcas recientes que hicimos al hacer intersección,y trazaremos una circunferencia,y en la otra intersección haremos lo mismo,de esas 2 nuevas circunferencia ,se haran 2 intersecciones, las uniremos, y ya tenemos el punto medio de esa medida,ahora abrimos el compas ,del incentro ,hasta el punto medio de esa medida ,y tiene que se tangente con los 3 segmentos del triangulo,es decir ,en otros termino ,tiene que rosar los segmentos del triangulo.

●La otra construcción que se forma es la CIRCUNFERENCIA INSCRITA.

CONSTRUCCIÓN 21)Construye en el triángulo ABC, las 3 medianas de sus ángulos.

●Abrir el compás más de la mitad del triangulo y marcar la parábola más de lo normal, del punto A haciendo la mitad de una circunferencia , hacer esto en los 3 vértices ,como en la construcción anterior  marcar con la regla de punta a punta pero en este caso sólo marcamos el segmento cuando se corta con el triángulo la recta.

●Con ayuda de la regla  marcamos la recta partiendo del vértice a la recta marcada en el punto anterior , así con los otros 2 hasta tener 3 rectas, estas líneas son llamadas medianas.

●El punto que en el que se juntan las 3 rectas se llama baricentro.

●La utilidad de esta construcción es para el CENTRO DE MASAS DEL TRIANGULO.

CONSTRUCCIÓN 22)Construye en el triángulo ABC, las tres alturas de sus ángulos. 

● Primero vamos a iniciar la altura del angulo B, primero hacemos centro en B,luego abrimos el compás,de tal manera que cuando realizemos la circunferencia,obtengamos 2 intersecciones en el segmento AC,

●Con la misma medida con la que abrimos el compás ,hacemos centro en una de esas intersecciones y trazamos media circunferencia,y hacemos lo mismo con la otra intersección,y ahora tendremos una intersección fuera del triangulo,esa la unimos con el vértice o angulo B

●Ahora haremos centro en C y buscamos el mismo objetivo,que intersecte 2 veces en el segmento AB ,pero probablemente ,el segmento no alcance ,y tenemos que alargar el segmento,lo mismo se va a hacer que en el anterior,y al final unimos con vértice C, lo mismo se repite con el ultimo que falta ,hacemos centro en A ,cortamos el segmento BC y unimos la intersección que nos de las circunferencias y la unimos al vértice A.Las 3 recta que obtengamos se unirán y el punto donde intersecten recibirán el nombre del Ortocentro.

La utilidad de esta construcción es  IDENTIFICAR  LAS 3 ALTURAS DEL TRIANGULO ,Y SI NO NO LAS PROPORCIONA EN UN PROBLEMA PARA CALCULAR EL ÁREA ,DE ESA MANERA LO SABREMOS.

Construcciones Unidad lll

CONSTRUCCIÓN 12) TRIÁNGULOS.

Construye dos triángulos: uno cuyas longitudes de sus 3 lados sean iguales al segmento AB, y el otro al segmento AC. Clasifica ambos triángulos de acuerdo con sus lados y a sus ángulos.

Pasos:

●Trazar un segmento largo sin medida .

●Hay que tener aparte otra línea en la que tengamos las marcas ( 3 puntos en la recta) de las medidas que queramos, al primer punto hay que llamarle A , al segundo B y al tercero  C.

●Con ayuda del compás marcamos una de esas medidas ( AB)y la transportamos al segmento marcado en el primer paso.

● Hacemos centro en la línea (donde sea) y marcamos la medida en la recta cuando está la corta.

●Al primer punto marcado lo llamaremos A', y al punto donde la medida cortó al segmento B'.

●Hacemos centro en A' y con la misma medida la marcamos y hacemos la parábola que forma, luego repetimos el procedimiento en el punto B'.

●Al punto donde chocan estas 2 parábolas lo llamaremos C'.

●Unir estos 3 puntos y así formaremos un triangulo con las 3 líneas iguales .A este tipo de triángulos que se forman se llaman "equilateros".

●Repetimos el proceso con la medida ahora AC y repetimos todo el proceso en otra línea aparte y de preferencia en otra dirección.

CONCLUSION:

Cuando un triangulo tiene sus 3 lados de la misma medida serán triángulos equilateros.

CONSTRUCCIÓN 13)

TRIÁNGULOS.

Construye 2 triangulos: el primero con dos lados cuya longitud sea igual al segmento AB y el tercer lado al segmento BC. Y el segundo con dos segmentos iguales al segmento AB y el tercer lado al segmento AC. Clasifica ambos triángulos de acuerdo con sus lados y a sus ángulos.

Pasos:

●Marcamos una recta de longitud indefinida .

●Debemos de tener otra recta con 3 puntos A ,B y C de longitud indefinida.

●Con la ayuda del compás marcamos la distancia de AB y la transportamos a la primera recta. Haciendo un punto en donde sea y marcando esa medida, le ponemos de nombres A y B prima.

● Manteniendo esa medida hacemos centro en B' y marcamos esa parábola.

●Ahora marcamos la medida BC y hacemos centro en A' y marcamos esa parábola, en donde esas dos parábolas marcadas se cruzan marcamos ese punto y las unimos, la llamamos c' .

●Para el segundo triangulo hacemos otra línea, marcamos con el compás la medida ahora de AB y hacemos lo mismo, la marcamos en la línea aparte y le llamamos A'' B ".

●Luego marcamos AC y la marcamos de los 2 puntos y en el punto donde chocan esas parábolas le llamamos C''.

CONCLUSIÓN:

Los triángulos que son isoseles también pueden ser acutangulo, obtusangulo y rectángulo.

CONSTRUCCIÓN 14)TRIANGULO ESCALENO.

Construye 2 triángulos : uno con las longitudes de los segmentos AC, BD, AD. Clasifica ambos triángulos de acuerdo con sus lados y sus ángulos.

Puntos:

●Primero hay que tener una recta con 4 puntos A distinta distancia con el nombre de A,B,C,D.

●Hacemos una circufetencia con el radio de medida más grande , marcamos la segunda medida a un punto de la recta y marcamos la parábola, la tercera medida también la marcamos del otro lado y en 3 punto donde chocaron estas 2 parabolas hacemos el punto y las unimos formando el triángulo.

La característica de los triángulos es que tienen sus ángulos y sus 3 lados iguales o de diferente medida.

CONSTRUCCIÓN 15) DESIGUALDAD DEL TRIÁNGULO.

¿Se puede construir in triangulo cuyos lados midan cualesquiera valores? Si no es así entonces averigua que requisito necesita cumplir cada lado.Construye con tu regla y compás triángulos fotos lados midan:

A) 2,4,5 unidades.

B) 2,6,2 unidades.

C) 6,3,2 unidades.

Hay que marcar una línea y marcar un punto en ella  , lo llamaremos A, con el compás hay que marcar una distancia de las ya dadas en el insiso A) , una vez ya marcada el segundo punto lo llamamos B

Hacemos centro en A y marcamos la segunda distancia, marcar la parábola y haciendo en el punto B y marcamos la 3 distancia, donde chocan  hacer punto y unir esas líneas.

Hacemos lo mismo con las demas distancias y unir igual, al hacer esta nos daremos cuenta que estas 3 líneas no se van a juntar y no van a firmar nada.

Igual el tercero al hacerlo nos daremos cuenta que tampoco se logra hacer un triangulo , como lo muestra la sig imagen:

CONCLUSIÓN:

La suma de 2 lados más cortos tienen que ser mayor que el 3ero para que se logre hacer un triangulo.

CONSTRUCCIÓN 16) SUMA DE ÁNGULOS INTERIORES .

Dado el sig. Triangulo prueba que la suma de los ángulos interiores es igual a 180°.

● tomar un ángulo del triangulo marcado, o sea una punta del triangulo.

●Con la ayuda del compás marcamos una parábola de las otras puntas del triangulo, una vez ya marcadas de las 3 puntas  denuevo abrimos el compás a la medida de punta a punta de la parábola ya dada y la marcamos a partir de la punta del ángulo tomado (la transportamos) marcamos el punto haciendo punto en A  y marcando la parábola, hay que hacer lo mismo en el otro ángulo y lo volvemos a marcar del otro lado del punto A .

●Una vez ya marcadas las 2 medidas de los ángulos una alado de otro marcamos una línea recta que pase por esos 3 puntos .

●Se supone que hay que tener una línea recta .

Ese se supone que es la comprobación de que los 3 ángulos forman un ángulo de 180°.

CONCLUSIÓN:

Que la suma de los ángulos interiores del triangulo suman 180°.

Y es obtusangulo.

CONSTRUCCIÓN 17) SUMA DE ÁNGULOS EXTERIORES.

Dado el siguiente triangulo prueba que la suma de los ángulos exteriores es igual a 360°.

Marcar una línea que siga después del triangulo, una de cada lado y marca el ángulo con ayuda del compás de cada línea.

Al hacer esa parábola abrimos verticalmente de punta a punta de la parábola y hacemos una línea y hacemos centro y marcamos esa parábola verticalmente de igual manera . Unimos puntos y hacemos una línea recta .

Va hacer una cierta altura y un ángulo que va hacer de la misma medida de la que teníamos que transportar en un principio y así lo hacemos con las 2 restantes y se tienen que trazar una alado de la otra, se supone que debe de formar un círculo y esto es lo que hace la comprobación de que los 3 ángulos exteriores dan 360°.

CONSTRUCCIÓN 18)Suma de dos ángulos interiores es igual al ángulo exterior no adyacente. Dado el siguiente triangulo prueba que la suma de dos ángulos es igual al ángulo exterior no adyacente.

1-Para esto usaremos el siguiente razonamiento,Primero le pondremos nombre a LOS ANGULOS DEL VERTICE del angulo,A,B,C PARA LOS ANGULOS INTERIORES, y a,b,c para los exteriores

ahora sabemos que C yc sumados dan 180°,entonces sabemos que A +B=180° -C, por lo tanto A+B= c
2--Trazaremos una recta independiente
3-Marcaremos un centro
4-traspasaremos el angulo A ,a la recta ,lo haremos haciendo centro con el compas en el vertice del angulo a,y abriremos de una manera que corte los 2 lados del triangulo,ahora esa medida la pasaremos a la recta
5-haciendo centro en el punto que colocamos trazaremos una circunferencia,de forma que corte con la recta,con un lado es suficiente
6-Luego abriremos el compás a la medida de las 2 intersecciones que se formaron en el triangulo,cuando hicimos centro en el vertice de a,y en la interseccion que marco la circunferencia con la recta ,ahi,haremos centro,y nos daremos cuenta que esa circunferencia intersecta,con la circunferencia,esa intersección la uniremos al centro,
7.se repitaran los mismos paso,slo que ahora con las medidas del angulo b),y la primera circunferencia,haremos centro,en el centro que marcamos en la recta,y el segundo centro lo haremos en la intersección de las 2 primeras circunferencia es decir ,el que nos ayudo a traspasar el primer angulo,y eso sera todo,podremos comprobar que ese es la suma que es igual al angulo c,solo traspasamos ese angulo a la misma recta,y coincidirán.

GLOSARIO.

ÁNGULOS DE UNA CIECUNFERENCIA.

...via slideshare....

https://es.slideshare.net/mobile/karina7060/angulos-de-la-circunferencia

Glosario

CIRCUNFERENCIA: RECTAS Y SEGMENTOS EN:


LA CIRCUNFERENCIA


Es una línea curva cerrada y plana formada por un conjunto de puntos que equidistan de otro punto fijo llamado centro “O”, la distancia constante del centro a todos los puntos de la circunferencia recibe el nombre de radio.


También podemos definirá a la circunferencia como el contorno o perímetro del círculo.


PUNTOS, SEGMENTOS Y RECTAS DE LA CIRCUNFERENCIA



·      Centro, el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia.

·      Radio, el segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia.

·      Diámetro, el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia y  que necesariamente pasa por el centro.

·      Cuerda, el segmento que une dos puntos de la circunferencia; (las cuerdas de longitud máxima son los diámetros).

·      Arco, el segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia.

·     Semicircunferencia, cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diámetro.

En el plano, una recta puede intersecar a una circunferencia en un punto, intersecarla en dos puntos o no intersecarla.


·           Las rectas que intersecan a la circunferencia en un solo punto se llamanrectas tangentes a la circunferencia. Al punto en el que la tangente interseca a la circunferencia se llama punto de tangencia; una recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio que une el punto de tangencia con el centro, por lo cual, la distancia que hay del centro a la recta tangente es igual al radio.


·           Las rectas que intersecan en dos puntos a la circunferencia se llaman rectas secantes. La distancia del centro de la circunferencia a la recta secante es menor que el radio.


·           Las rectas que no intersecan a la circunferencia se llaman rectas exteriores. La distancia del centro de la circunferencia a la recta exterior es mayor que el radio.



ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA


·            Ángulo central tiene su vértice en el centro por lo que sus lados contienen a dos radios. La amplitud de un ángulo central es igual a la del arco que abarca.


·            Ángulo inscrito su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados son dos cuerdas.


·            Ángulo semi-inscrito su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen una cuerda y una recta tangente a la circunferencia. El vértice es el punto de tangencia. La amplitud de un ángulo semi-inscrito es la mitad de la del arco que abarca.


·            Ángulo interior su vértice está en el interior de la circunferencia. La amplitud de un ángulo interior es la mitad de la suma de dos medidas: la del arco que abarcan sus lados más la del arco que abarcan sus prolongaciones.


·            Ángulo exterior tiene su vértice en el exterior de la circunferencia  y los lados de sus ángulos son: o secantes a ella, o uno tangente y otro secante, o tangentes a ella.

TEOREMAS DE LOS ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA


TEOREMA DEL ÁNGULO CENTRAL: La medida de un arco es la de su ángulo central correspondiente o viceversa. 

 

   AOB = AB

TEOREMA DEL ÁNGULO INSCRITO: Mide la mitad del arco que abarca.


AOB = ½ AB

Un ángulo inscrito y uno central cumplen con la siguiente relación: “la medida de un ángulo inscrito es la mitad de la medida del ángulo central que subtiende el mismo arco”.



TEOREMA DEL ÁNGULO SEMI-INSCRITO: Mide la mitad del arco que abarca.


AOB = ½ AB

TEOREMA DEL ÁNGULO INTERIOR: Mide la mitad de la suma de las medidas de los arcos que abarcan sus lados y las prolongaciones de sus lados.


AOB = ½ (AB + CD)

TEOREMA DEL ÁNGULO EXTERIOR: Mide la mitad de la diferencia entre las medidas de los arcos que abarcan sus lados sobre la circunferencia.


AOB = ½  (AB - CD)

....Vías....

http://www.matematica.raimapu.cl/guias/2medio/circunferencia/guia1.pdf

http://es.scribd.com/doc/20457620/Circunferencia-teoremas

http://www.educared.org/wikiEducared/%C3%81ngulos_en_las_circunferencias.html

Glosario

FÓRMULA DE HERÓN.

La fórmula de Herón halla el área de untriángulo del cual se conocen todos sus lados. El área se calcula a partir del semiperímetrodel triángulo s y de la longitud de los lados (a, by c).

La llamada fórmula de Herón permite calcular el área de un triángulo a partir de las medidas de sus lados. Coxeter indica que la fórmula ya era conocida por Arquímedes.

Usando el conocido teorema del coseno: a2=b2+c2−2bccos(A)a2=b2+c2−2bccos(A), podemos calcular cos(A)=b2+c2−a22bccos(A)=b2+c2−a22bc.
A partir del valor del coseno se puede calcular el valor del seno usando la relación fundamental de trigonometría (sen2(A)+cos2(A)=1sen2(A)+cos2(A)=1): sen2(A)=−a4−b4−c4+2a2b2+2b2c2+2c2a24b2c2sen2(A)=−a4−b4−c4+2a2b2+2b2c2+2c2a24b2c2
También es conocido que el área de un triángulo se puede obtener a partir de las longitudes de dos de sus lados y del valor del ángulo que determinan esos dos lados.
En la imagen siguiente: Área=12c×hÁrea=12c×h. En el triángulo rectángulo AHC tenemos: h=bsen(A)h=bsen(A) y de aquí y de la igualdad anterior se deduce la célebre fórmula:

Área=12b×c×sen(A)

Utilizando los resultados anteriores podemos escribir: Área=12b×c−a4−b4−c4+2a2b2+2b2c2+2c2a24b2c2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√$\text{Área}=\frac{1}{2}b\times c\sqrt{\frac{-a^4-b^4-c^4+2a^2{b}^2+2b^2{c}^2+2c^2{a}^2}{4b^2{c}^2}}$
Área=14−a4−b4−c4+2a2b2+2b2c2+2c2a2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√$\text{Área}=\frac{1}{4}\sqrt{-a^4-b^4-c^4+2a^2{b}^2+2b^2{c}^2+2c^2{a}^2}$
Área=14(a+b+c)(−a+b+c)(a−b+c)(a+b−c)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√$\text{Área}=\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}$
Llamando s$s$ al semiperímetro:
Área=142s(2s−2a)(2s−2b)(2s−2c)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√$\text{Área}=\frac{1}{4}\sqrt{2s(2s-2a)(2s-2b)(2s-2c)}$, y, por último obtenemos la célebre fórmula de Herón:
Área=s(s−a)(s−b)(s−c)−−−−−−−−−−−−−−−−−√

..via Google universo fórmulas....

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